統計学第７回
「カテゴリ変数２つの解析（２）」

中澤 港

http://phi.ypu.jp/stat.html

<minato@ypu.jp>

２つのカテゴリ変数の関連の強さをみるには？

カイ二乗検定やフィッシャーの直接確率検定では，関連の強さはわからない。

１つのカテゴリ変数をグループ分けを示す変数と考え，もう１つのカテゴリ値の取り方が，グループ間で何倍違うかをみる→リスク比，オッズ比，罹患率比

カテゴリの増減が一致している程度をみる→ユールのＱ，ファイ係数（ρ：四分点相関係数ともいう），クラメールのV，一致係数

再測定したときの一致度をみる→κ係数

リスク・オッズ・罹患率

原因と結果にどれくらいの関連があるかを知りたいとき，原因が無いグループの結果に対して，原因があるグループの結果がどれくらい大きいかで評価するという考え方（疫学）

病気を例にとって説明すると……

病気のリスクとは，観察期間内に全体のうちでその病気を発症する人の割合

病気のオッズとは，発症した人の発症していない人に対する人数比

ちなみに，病気の罹患率とは，延べ観察時間あたりの病気の発生数をいう

リスク比

リスク比は原因なし群のリスクに対する，原因あり群のリスクの比。英語ではRisk Ratio。RRと略記する。Relative Riskというとリスク比と罹患率比の両方を指すので，どちらか明示すべき。

全体のうちどれくらい発症するかという情報が必要なので，曝露時点での全体がわからないデザイン（断面研究や症例対照研究）では計算できない。

原因の有無と発症が無関係なら１。

発症あり 発症なし
曝露あり X m1-X m1
曝露なし Y m2-Y m2
n1 n2 N
とすると，曝露あり群のリスクが(X/m1)，曝露なし群のリスクが(Y/m2)となるので，
リスク比は，(X/m1)/(Y/m2) = (X*m2)/(Y*m1)

リスク比の信頼区間

リスク比(RR)の分布はNが大きくなると正規分布に近づく。しかし右裾を引いているので，対数変換した方が近似が良い（RRの推定値が大きいときは立方根変換した方が近似がいいが面倒）。

対数変換では，95%信頼区間の下限は，
RR*exp(-1.96*sqrt(1/X-1/m1+1/Y-1/m2))，上限は,RR*exp(1.96*sqrt(1/X-1/m1+1/Y-1/m2))となる。

一般に，95%信頼区間が1をまたいでいるかどうかでリスク比の有意性を判断することが多い。しかし本質的には，信頼区間の幅そのものの情報をきちんと評価すべきである。

オッズ比

オッズ比は原因なし群の疾病オッズに対する，原因あり群の疾病オッズの比（または疾病なし群の曝露オッズに対する疾病あり群の曝露オッズの比。数学的には等価）。Odds Ratio。ORと略記する。オッズ比は断面研究でも症例対照研究でも計算できる。

原因の有無と疾病の有無が無関係なら１

疾病あり 疾病なし
曝露あり a b m1
曝露なし c d m2
n1 n2 N
とすると，曝露あり群のオッズはa/b，なし群はc/d
となるので，オッズ比は，(a/b)/(c/d) = (a*d)/(b*c)

ただし，Rも含めて統計ソフトでは連続修正されたり最尤推定されることが多いので，この単純な定義通りにはならない

オッズ比の信頼区間

リスク比の場合と同様，オッズ比(OR)も右裾を引いた分布に従うので，対数変換またはCornfieldの方法で正規分布に近づけ，正規近似を使って95%信頼区間を求める。

対数変換なら，95%信頼区間の下限はOR*exp(-1.96*sqrt(1/a+1/b+1/c+1/d))上限はOR*exp(1.96*sqrt(1/a+1/b+1/c+1/d))となる。

実はRにはvcdというライブラリがあって，install.packages(“vcd”)などによってCRANからvcdをインストール済みならば，library(vcd)して，summary(oddsratio(クロス表,log=F))で全部やってくれる（但し連続修正されている）。

関連性の指標の意味

オッズ比はリスク比の良い近似となることが多い。稀な疾患の場合（「注目している事象が起こる確率がきわめて低い場合」），患者対照研究によってオッズ比を求める方が効率が良い（テキストの例を参照）

その他の関連性の指標としては，リスク差，相対差，曝露寄与率，母集団寄与率，YuleのQ，ファイ係数（ρ：四分点相関係数ともいう），クラメールのV，一致係数など。

同じ質問を繰り返して行った場合に同じ答えが返ってくるかどうかを見るにはκ係数を使う。

２×２クロス表からの関連性の指標

発症 非発症
曝露あり X m1-X m1
曝露なし Y m2-Y m2
n1 n2 N
無修正のカイ二乗値をCと書くことにすると，

リスク差(RD)=(X/m1)-(Y/m2)

相対差=RD/(1-(Y/m2))

曝露寄与率=RD/(X/m1)

母集団寄与率={(X+Y)/N-(Y/m2)}/{(X+Y)/N}

YuleのQ=(OR-1)/(OR+1)

ファイ係数（ρ）=sqrt{RD*(X/n1-(m1-X)/n2)}=sqrt(C/N)

クラメールのV=sqrt(C*N)

一致係数=sqrt{C/(C+N)}

Rでは下３つは，library(vcd)のassoc.stats(クロス表)で計算できる。

κ（カッパ）係数

２回の繰り返し調査をしたときに，あるカテゴリ変数がどれくらい一致するかを示す指標。test-retest-reliabilityの尺度。

別々のカテゴリ変数間のクロス集計と見かけは同じだが，意味は違う。カイ二乗検定やフィッシャーの直接確率で帰無仮説とした，２つのカテゴリ変数が独立という仮定はそもそも無理なので，それらを求めても無意味。

１回目○ １回目×
２回目○ a b m1
２回目× c d m2
n1 n2 N
とすると，偶然の一致割合Pe=(n1m1/N+n2m2/N)/N
実際の一致割合Po=(a+d)/Nとなるので，κ=(Po-Pe)/(1-Pe)という量を考えると，この統計量κは，完全一致で1，偶然の一致と同じとき0，偶然より一致度が低いとき負の値をとる。

V(κ)=Pe/{N(1-Pe)}から，κ/sqrt(V(κ))～N(0,1)を使って検定できる。Rではlibrary(vcd)にKappa(クロス表)がある。

memo

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Minato Nakazawa

2002-06-09T20:09:15

Minato Nakazawa